Question

已知函数 f（x）=

1

4

x²-

1

2

（x∈R），g（x）=lg

3-x

3+x

（-3＜x＜3）
（1）分别判断函数f（x）和g（x）的奇偶性；
（2）设函数h（x）=f（x）+g（x），问：函数h（x）在区间（-2，2）上是否有零点？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；
（2）函数h（x）=f（x）+g（x），计算函数值h（0），h（-2），得h（0）h（-2）＜0，根据零点存在定理可知∴函数h（x）在区间（-2，0）上有零点．从而函数h（x）在区间（-2，0）上有零点．

解答：解：（1）知f（x），g（x）的定义域关于原点对称，
∵f（x）=

1

4

x²-

1

2

，
∴f（-x）=

1

4

（-x）²-

1

2

=

1

4

x²-

1

2

=f（x），
∴函数f（x）为偶函数．
∵g（x）=lg

3-x

3+x

，∴g（-x）=lg

3+x

3-x

=-lg

3-x

3+x

=-f（x），
∴函数g（x）为奇函数．
（2）函数h（x）=f（x）+g（x），
∴h（0）=f（0）+g（0）=-

1

2

+lg1=-

1

2

＜0，
h（-2）=f（-2）+g（-2）=

1

2

+lg5=

1

2

＞0，
∴函数h（x）在区间（-2，0）上有零点．
从而函数h（x）在区间（-2，0）上有零点．

点评：本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，考查函数零点的判定定理．定义是解决函数奇偶性的基本方法．