Question

若函数f（2x+1）=x²-2x，则f（3）=

 

．

Answer 1

分析：这是一个凑配特殊值法解题的特例，由f（2x+1）=x²-2x，求f（3）的值，可令（2x+1）=3，解出对应的x值后，代入函数的解析式即可得答案．本题也可使用凑配法或换元法求出函数f（x）的解析式，再将 x=3代入进行求解．

解答：解法一：（换元法求解析式）
令t=2x+1，则x=

t-1

2

则f（t）=(

t-1

2

)2-2

t-1

2

=

1

4

t2-

3

2

t+

5

4

∴f(x)=

1

4

x2-

3

2

x+

5

4

∴f（3）=-1
解法二：（凑配法求解析式）
∵f（2x+1）=x²-2x=

1

4

(2x+1)2-

3

2

(2x+1)+

5

4

∴f(x)=

1

4

x2-

3

2

x+

5

4

∴f（3）=-1
解法三：（凑配法求解析式）
∵f（2x+1）=x²-2x
令2x+1=3
则x=1
此时x²-2x=-1
∴f（3）=-1
故答案为：-1

点评：求未知函数解析式的函数的函数值，有两种思路，一种是利用待定系数法、换元法、凑配法等求函数解析式的方法，求出函数的解析式，然后将自变值，代入函数解析式，进行求解；（见本题的解法一、二）二是利用凑配特殊值的方法，凑出条件成立时的特殊值，代入求解．（见本题的解法三）