Question

在△ABC中，三内角A、B、C所对边分别为a、b、c，设向量

m

=（b，c-2a），

n

=（cosC，cosB），且

m

⊥

n

（1） 求角B的大小；
（2） 已知a+c=5，b=

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由向量垂直满足的关系得到两向量的数量积为0，列出关系式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由余弦定理表示出b²，变形后把b和a+c的值代入即可求出ac的值，然后利用面积公式，由ac的值和sinB的值即可求出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即bcosC+（c-2a）cosB=0，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：sinBcosC+sinCcosB-2sinAcosB=0，
sin（B+C）-2sinAcosB=0，sinA-2sinAcosB=0，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即7=a²+c²-ac，
∴7=（a+c）²-3ac，
由条件a+c=5得：7=25-3ac，解得ac=6，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

点评：此题考查学生掌握平面向量垂直时满足的关系，灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．