题目内容
已知函数f（x）的定义域为I，导数f′（x）满足0＜f′（x）＜2，且f′（x）≠1，常数c1为方程f（x）-x=0的实数根，常数c2为方程f（x）-2x=0的实数根．
（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x0∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0）成立．求证：方程f（x）-x=0不存在异于c1的实数根；
（2）求证：当x＞c2时，总有f（x）＜2x成立．
（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x0∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0）成立．求证：方程f（x）-x=0不存在异于c1的实数根；
（2）求证：当x＞c2时，总有f（x）＜2x成立．
分析：（1）利用反证法．假设方程f（x）-x=0有存在异于c1的实数根m，即f（m）=m，则有m-c1=f（m）-f（c1）=（m-c1）f′（x0）成立，根据m≠c1，可得f′（x0）=1，从而与f′（x）≠1矛盾，故命题得证；
（2）构造h（x）=f（x）-2x，可以得出函数h（x）为减函数，根据h（c2）=f（c2）-2c2=0，可得结论．
（2）构造h（x）=f（x）-2x，可以得出函数h（x）为减函数，根据h（c2）=f（c2）-2c2=0，可得结论．
解答：证明：（1）假设方程f（x）-x=0有存在异于c1的实数根m，即f（m）=m，
则∵对任意[a，b]⊆I，存在x0∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0）成立
∴m-c1=f（m）-f（c1）=（m-c1）f′（x0）成立
∵m≠c1，∴f′（x0）=1，这与f′（x）≠1矛盾
∴方程f（x）-x=0不存在异于c1的实数根；
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵h′（x）=f′（x）-2＜0，
∴函数h（x）为减函数
又∵h（c2）=f（c2）-2c2=0
∴当x＞c2时，h（x）＜0，
即f（x）＜2x成立．
则∵对任意[a，b]⊆I，存在x0∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0）成立
∴m-c1=f（m）-f（c1）=（m-c1）f′（x0）成立
∵m≠c1，∴f′（x0）=1，这与f′（x）≠1矛盾
∴方程f（x）-x=0不存在异于c1的实数根；
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵h′（x）=f′（x）-2＜0，
∴函数h（x）为减函数
又∵h（c2）=f（c2）-2c2=0
∴当x＞c2时，h（x）＜0，
即f（x）＜2x成立．
点评：本题以函数为载体，考查函数与方程的综合运用，考查反证法思想，同时考查了利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数，利用导数研究函数的单调性．
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