题目内容
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点M、N分别为侧棱PD、PC的中点
（1）求证：CD∥平面AMN；
（2）求证：AM⊥平面PCD．
（1）求证：CD∥平面AMN；
（2）求证：AM⊥平面PCD．
证明：（1）∵M、N分别为侧棱PD、PC的中点，
∴CD∥MN，
∵MN?平面AMN，CD?平面AMN
∴CD∥平面AMN．
（2）∵PA=AD，M为PD的中点，
∴AM⊥PD
∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA
又∵底面是正方形，∴CD⊥AD，∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD，∵AM?平面PAD
∴AM⊥CD，又∵CD∩PD=D
∴AM⊥平面PCD．
∴CD∥MN，
∵MN?平面AMN，CD?平面AMN
∴CD∥平面AMN．
（2）∵PA=AD，M为PD的中点，
∴AM⊥PD
∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA
又∵底面是正方形，∴CD⊥AD，∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD，∵AM?平面PAD
∴AM⊥CD，又∵CD∩PD=D
∴AM⊥平面PCD．
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