Question

（2013•贵阳二模）选修4-4：坐标系与参数方程
 在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin（θ-

π

4

）=

2

2

，
（I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．求圆O和直线l的直角坐标方程；
（II）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把给出的极坐标方程两边同时乘以ρ，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可求得圆的普通方程．展开两角差的正弦公式，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可求得直线的普通方程．
（Ⅱ）求出圆与直线的交点坐标（0，1），由该点在极坐标平面内的位置得到其极径与极角．

解答：解：（Ⅰ）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
所以圆O的直角坐标方程为：x²+y²=x+y，即x²+y²-x-y=0．
直线l：ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

，即ρsinθcos

π

4

-ρcosθsin

π

4

=

2

2

，
也就是ρsinθ-ρcosθ=1．
则直线l的直角坐标方程为：y-x=1，即x-y+1=0．
（Ⅱ）由

x2+y2-x-y=0 x-y+1=0

，得

x=0 y=1

．
故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为(1，

π

2

)．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键是熟记公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，是基础题．