题目内容
已知α，β，γ∈R，则
+
+
的最大值为
| |sinα-sinβ| |
| |sinβ-sinγ| |
| |sinγ-sinα| |
2+
| 2 |
2+
．| 2 |
分析：设a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，则a，b，c∈[-1，1]，不妨设 a≥b≥c，则原式=
+
+
．分析可得要使原式取得最大值，必须有a=1，c=-1，b=0，由此原式的最大值．
| |a-b| |
| |b-c| |
| |a-c| |
解答：解：由于sinα、sinβ、sinγ∈[-1，1]，设a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，则a，b，c∈[-1，1]．
不妨设 a≥b≥c，令f=
+
+
．
再采用固定变量法：
对于固定的b，c，f随a的增大而增大，所以当原式取最大值时，a一定取1，
对于固定的a，b，f随c的减小而增大，所以当原式取最大值时，c一定取-1．
此时，原式=
+
+
．
令g（b）=
+
（-1≤b≤1），∵g2（b）=2+2
，
∴当b=0时，g2（b）最大，故g（b）的最大值为
．
综上可得，要使原式取得最大值，必须有a=1，c=-1，b=0，
故原式的最大值为 2+
，
故答案为 2+
．
不妨设 a≥b≥c，令f=
| |a-b| |
| |b-c| |
| |a-c| |
再采用固定变量法：
对于固定的b，c，f随a的增大而增大，所以当原式取最大值时，a一定取1，
对于固定的a，b，f随c的减小而增大，所以当原式取最大值时，c一定取-1．
此时，原式=
| 1-b |
| b+1 |
| 2 |
令g（b）=
| 1-b |
| b+1 |
| 1-b2 |
∴当b=0时，g2（b）最大，故g（b）的最大值为
| 2 |
综上可得，要使原式取得最大值，必须有a=1，c=-1，b=0，
故原式的最大值为 2+
| 2 |
故答案为 2+
| 2 |
点评：本题主要考查正弦函数的值域，求函数的最大值，体现了转化的数学思想，属于中档题．
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