Question

已知函数f（x）=

a-x

x-a-1

的反函数f ^-1（x）的图象的对称中心是（b，3），则实数a+b为

 

．

Answer 1

分析：把原函数解析式变形得到f（x）=-1-

1

x-a-1

，设y′=y+1，x′=x-a-1得到y′=

-1

x′

为反比例函数且为奇函数，求出对称中心，最后根据互为反函数的图象对称性得出反函数f^-1（x）的图象的对称中心，从而求得a，b即可．

解答：解：因为 f（x）=-1-

1

x-a-1

，
设y′=y+1，x′=x-a-1得到y′=

-1

x′

为反比例函数且为奇函数
则对称中心为（0，0）即y′=0，x′=0得到y=-1，x=a+1
所以函数y的对称中心为（a+1，-1）
根据互为反函数的图象关于y=x对称，
得出反函数f^-1（x）的图象的对称中心（-1，a+1）
∴a+1=3，b=-1
则实数a+b为 1
故答案为：1．

点评：考查学生互为反函数的图象对称性、灵活运用奇偶函数图象对称性的能力．考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新意识．