Question

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2

2

，求实数b的最大值；
（3）函数g（x）=f′（x）-a（x-x₁）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，求函数g（x）在（x₁，x₂）内的最小值．（用a表示）

Answer 1

分析：（1）f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）．由得

a=6 b=-9

，（或由f'（-1）=0，f'（2）=0，解得a=6，b=-9．）由此能求出f（x）的解析式．
（2）由x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，知x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，由△=4b²+12a³＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=-

a

3

，a＞0，知x₁•x₂＜0，由此能求出b的最大值．
（3）由x₁、x₂是方程f'（x）=0的两根，f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），x1•x2=-

a

3

，x2=a，知x1=-

1

3

，f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)=3a(x+

1

3

)(x-a)，由此能求出函数g（x）在（x₁，x₂）内的最小值．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）．（1分）
∵x₁=-1，x₂=2是函数f（x）的两个极值点，
由

-1+2=- 2b 3a -1×2= -a2 3a =- a 3

，
得

a=6 b=-9

，（3分）
（或由f'（-1）=0，f'（2）=0．
∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，
解得a=6，b=-9．）
∴f（x）=6x³-9x²-36x，（4分）
（2）∵x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，
∴f'（x₁）=f'（x₂）=0，
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，
∵△=4b²+12a³，
∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，
而x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=-

a

3

，a＞0，
∴x₁•x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|
=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- 2b 3a )2-4(- a 3 )

=

4b2 9a2 + 4 3 a

，（6分）
由|x1| +|x2| =2

2

，
得

4b2 9a2 + 4 3 a

=2

2

，
∴b²=3a²（6-a）．（7分）
∵b²≥0，
∴3a²（6-a）≥0，0＜a≤6．（8分）
令h（a）=3a²（6-a），
则h'（a）=-9a²+36a．
0＜a＜4时，h'（a）＞0
∴h（a）在（0，4）内是增函数；
4＜a＜6时，h'（a）＜0，
∴h （a）在（4，6）内是减函数．
∴a=4时，h（a）有极大值为96，
∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是4

6

．…（10分）
（3）∵x₁、x₂是方程f'（x）=0的两根，
f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
∵x1•x2=-

a

3

，x2=a，
∴x1=-

1

3

，（11分）
∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)=3a(x+

1

3

)(x-a)
∴g（x）=f'（x）-a（x-x₁）
=3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)=3a(x+

1

3

)(x-a-

1

3

)，（12分）
对称轴为x=

a

2

，
∵a＞0，
∴

a

2

∈(-

1

3

，a)=(x1，x2)，
∴[g(x)]min=g(

a

2

)=3a(

a

2

+

1

3

)(

a

2

-a-

1

3

)=-3a(

a

2

+

1

3

)2=-

a(3a+2)2

12

．（15分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．