题目内容
19.在△ABC中,已知$\overrightarrow{AB}=({1,\sqrt{3}}),\overrightarrow{BC}=({cosA,sinA})$,且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}$,(1)求角A;
(2)求边AC的长.
分析 (1)由已知向量的坐标以及数量积得到关于A的等式解之;
(2)由(1)求出cosB,结合余弦定理求AC.
解答 解:(1)由已知$\overrightarrow{AB}=({1,\sqrt{3}}),\overrightarrow{BC}=({cosA,sinA})$,且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}$>0,
所以得到cosA+$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$,所以sin(A+30°)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,30°<A+30°<150°,所以A=30°;
(2)由(1)得cosB=-$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以B=30°,
所以AC2=AB2+BC2-2AB×BCcosB=4+1-4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5-2$\sqrt{3}$,所以AC=$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$.
点评 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算与三角函数相结合的问题;注意三角形两边对应向量的夹角与内角的关系.
练习册系列答案
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A. | 2015 | B. | 2014 | C. | 1007或1008 | D. | 1001或1002 |