Question

8、一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x²=2y（0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为

0＜r≤1

Answer 1

分析：设小球圆心（0，y₀） 抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方 的表达式，进而根据若r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底 需1-y₀≥0 进而求得r的范围．

解答：解：设小球圆心（0，y₀）
抛物线上点（x，y）
点到圆心距离平方
r²=x²+（y-y₀）²=2y+（y-y₀）²=Y²+2（1-y₀）y+y₀²
若r²最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底
所以1-y₀≥0
所以0＜y₀≤1
所以0＜r≤1
故答案为0＜r≤1

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．