题目内容
已知函数f（x）=-
x22x，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），其中a为常数．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h′（x）存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）．
（1）求a的值；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）是函数y=g（x）的图象上两点，g′(x0) =
（g′（x）为g（x）的导函数），证明：x1＜x0＜x2．
| 1 |
| 2 |
（1）求a的值；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）是函数y=g（x）的图象上两点，g′(x0) =
| y2-y1 |
| x2-x1 |
（1）因为h（x）=
x2-2x+logax （x＞0），
所以h′（x）=x-2+
=
．
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以
≥0在区间（0，+∞）上恒成立．
若0＜a＜1，则lna＜0，于是x2lna-2xlna+1≤0恒成立．
又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）2-4lna=0，lna=0，或lna=1与lna＜0矛盾．所以a＞1．
由x2lna-2xlna+1≥0恒成立，又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）2-4lna=0，
所以lna=1，即a=e．
（2）由（1），g′（x0）=
，于是
=
，x0=
以下证明x1＜
（※）
（※）等价于x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0．
令r（x）=xlnx2-xlnx-x2+x
r′（x）=lnx2-lnx，在（0，x2]上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x2]上为增函数．
当x1＜x2时，r（x1）＜r（x2）=0，即x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0，
从而x0＞x1得到证明．
对于x2＞
同理可证，所以x1＜x0＜x2．
| 1 |
| 2 |
所以h′（x）=x-2+
| 1 |
| xlna |
| x2lna-2xlna+1 |
| xlna |
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以
| x2lna-2xlna+1 |
| xlna |
若0＜a＜1，则lna＜0，于是x2lna-2xlna+1≤0恒成立．
又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）2-4lna=0，lna=0，或lna=1与lna＜0矛盾．所以a＞1．
由x2lna-2xlna+1≥0恒成立，又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）2-4lna=0，
所以lna=1，即a=e．
（2）由（1），g′（x0）=
| 1 |
| x0 |
| 1 |
| x0 |
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| x2-x1 |
| lnx2-lnx1 |
以下证明x1＜
| x2-x1 |
| lnx2-lnx1 |
（※）等价于x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0．
令r（x）=xlnx2-xlnx-x2+x
r′（x）=lnx2-lnx，在（0，x2]上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x2]上为增函数．
当x1＜x2时，r（x1）＜r（x2）=0，即x1lnx2-x1lnx1-x2+x1＜0，
从而x0＞x1得到证明．
对于x2＞
| x2-x1 |
| lnx2-lnx1 |
练习册系列答案
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已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|