Question

已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，点（-1，1）在边AD所在的直线上，
（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；
（2）已知直线l：（1-2k）x+（1+k）y-5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由l_AB：x-3y-6=0且AD⊥AB，点（-1，1）在边AD所在的直线上，得到AD所在直线的方程是：y-1=-3（x+1）即3x+y+2=0，求出交点的坐标，得到结果．
（2）根据所给的直线的方程看出直线是一个过定点的直线，判断出定点在圆的内部，证明出直线与圆一定有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=

5

sinθ，得到当θ=90°时，d最大，|MN|最短，再写出直线的方程．

解答：解：（1）由l_AB：x-3y-6=0且AD⊥AB，点（-1，1）在边AD所在的直线上
∴AD所在直线的方程是：y-1=-3（x+1）即3x+y+2=0
由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

得A（0，-2）…（3分）
∴|AP|=

4+4

=2

2

∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x-2）²+y²=8…（6分）
（2）直线l的方程可化为：k（-2x+y+4）+x+y-5=0l可看作是过直线-2x+y+4=0和x+y-5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）
由于（3-2）²+2²=5＜8知点在圆内，
∴直线与圆恒有交点，
设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=

5

sinθ
当θ=90°时，d最大，|MN|最短，
此时l的斜率为PQ斜率的负倒数-

1

2

，
∴l：y-2=-

1

2

（x-3）
即x+2y-7=0

点评：本题看出直线的方程和圆的方程的综合应用，本题解题的关键是写出圆的方程，再表示出圆的弦，求出最长的弦，本题是一个解析几何的综合题目．