Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=-log_a（1-x）．
（1）当0＜a＜1时，解不等式；2f（x）+g（x）≥0；
（2）当a＞1，x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得2log_a（1+x）≥log_a（1-x），结合0＜a＜1可得

1+x＞0 1-x＞0 (1+x)2≤(1-x)

，解不等式可求x的范围
（2）由题意可得m≤loga

(1+x)2

1-x

在a＞1，x∈[0，1）时恒成立，构造函数F（x）=loga

(1+x)2

1-x

则m≤F（x）_min，结合函数的单调性只要求F（x）的最小值即可

解答：解：（1）∵2f（x）+g（x）≥0
∴2log_a（1+x）≥log_a（1-x）
∵0＜a＜1
∴

1+x＞0 1-x＞0 (1+x)2≤(1-x)

∴-1＜x≤0（4分）
∴不等式的解集为{x|-1＜x≤0}（6分）
（2）当a＞1时，x∈[0，1）时，总有2f（x）+g（x）≥m恒成立
即m≤loga

(1+x)2

1-x

在a＞1，x∈[0，1）时恒成立
令F（x）=loga

(1+x)2

1-x

则m≤F（x）_min
令u=

( 1+x)2

1-x

（0≤x＜10，令t=1-x则t∈（0，1]
即u（t）=

(2-t)2

t

=t+

4

t

-4，t∈（0，1]
∴u（t）=t+

4

t

-4在t∈（0，1]上单调递减
∴u（t）_min=u（1）=1即x=0时，u_min=1（8分）
∵a＞1
∴当x=0时，F（x）_min=log_a1=0（10分）
∴m≤0（12分）

点评：本题主要考查了对数不等式的求解，及构造函数利用函数的单调性求解函数的最值，函数的恒成立与函数最值的求解的相互转化的应用．