题目内容

已知A、B分别是椭圆 $数学公式$ 的左右两个焦点，O为坐标原点，点P（-1， $数学公式$ ）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵点M是线段PB的中点，∴OM是△PAB的中位线，

又OM⊥AB，∴PA⊥AB．
∴ $\text{[math]}$ ，a²=2，b²=1，c²=1．∴椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ +y²=1．
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点，
∴AC+BC=2a=2 $\text{[math]}$ ，AB=2c=2，
在△ABC中，由正弦定理， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由OM是△PAB的中位线得到PA⊥AB，由 $\text{[math]}$ 解得a²和b²的值，从而得到椭圆的标准方程，
（2）由椭圆的定义AC+BC=2a，△ABC中，由正弦定理求得 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题考查椭圆的简单性质和椭圆的标准方程的应用，正弦定理的应用．

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已知A，B分别是椭圆C：

=1，(a＞b＞0)的左右顶点，F₁是椭圆C的左焦点，|AF1|=2-

．
（1）求椭圆C的方程；
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的值，并判断以O为圆心，OQ为半径的圆与直线QN的位置关系．

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=1的左、右顶点，P是椭圆上异与A，B的任意一点，Q是双曲线C₂：

=1上异与A，B的任意一点，a＞b＞0．
（I）若P（

，1），求椭圆C_l的方程；
（Ⅱ）记直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别是k₁，k₂，k₃，k₄，求证：k₁•k₂+k₃•k₄为定值；
（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP，BP分别交 l于M，N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由．

已知A、B分别是椭圆=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程.

（本题14分）已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P ）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点是椭圆上异于长轴端点的任一点，对于△ABC，求的值。