题目内容
由原点O向三次曲线y=x3-3ax2（a≠0）引切线，切点为P1（x1，y1）（O，P1两点不重合），再由P1引此曲线的切线，切于点P2（x2，y2）（P1，P2不重合），如此继续下去，得到点列：{Pn（xn，yn）}
（1）求x1；
（2）求xn与xn+1满足的关系式；
（3）若a＞0，试判断xn与a的大小关系，并说明理由
解：（1）由y=x3-3ax2（a≠0）得y′=3x2-6ax
过曲线上的点P1（x1，y1）的切线L1的方程为
y-（x13-3ax12）=（3ax12-6ax1）（x-x1）
又∵切线L1过原点O，-（x13-3ax12）=（3ax12-6ax1）（x-x1）化得x1=
（2）过曲线上的点Pn+1（xn+1，yn+1）处的切线Ln+1方程为
y-（xn+13-3axn+12）=（3xn+12-6axn+1）（x-xn+1），
Ln+1过点Pn（xn，yn）得xn3-3axn2-xn+13+3axn+12=（3xn+12-6axn+1）（xn-xn+1），
由于xn≠xn+1，分解因式并约简，得：xn2+xnxn+1+xn+12-3a（xn+xn+1）=3xn+12-6axn+1
∴xn2+xnxn+1-2xn+12-3a（xn-xn+1）=0
（xn-xn+1）（xn+2xn+1）-3a（xn+xn+1）=0
∴xn+2xn+1=3a
（3）由（2）得：xn+1=-
xn+
a，
∴xn+1-a=-（xn-a）
故有数列{xn-a}是首项为x1-a=
，公比为-的等比数列
∴xn-a=
，
∴xn=[1-
]a
∵a＞0，
∴当n为偶数时，xn＜a；当n为奇数时xn＞a
分析：（1）由y=x3-3ax2（a≠0）求导得直线的斜率，设出过曲线上的点P1（x1，y1）的切线L1的方程，再由切线L1过原点O求解；
（2）不妨设过曲线上的点Pn+1（xn+1，yn+1）处的切线Ln+1方程为y-（xn+13-3axn+12）=（3xn+12-6axn+1）（x-xn+1），由Ln+1过点Pn（xn，yn）代入方程，化简可得其关系；
（3）由（2）的结论有xn+1=-xn+a，通过配方转化为xn+1-a=-（xn-a）有数列{xn-a}是首项为x1-a=，公比为-的等比数列求得xn=[1-]a再比较．
点评：本题主要考查导数的几何意义通过点在线上，构造数列模型考查数列变形转化及通项间的关系．
过曲线上的点P1（x1，y1）的切线L1的方程为
y-（x13-3ax12）=（3ax12-6ax1）（x-x1）
又∵切线L1过原点O，-（x13-3ax12）=（3ax12-6ax1）（x-x1）化得x1=
（2）过曲线上的点Pn+1（xn+1，yn+1）处的切线Ln+1方程为
y-（xn+13-3axn+12）=（3xn+12-6axn+1）（x-xn+1），
Ln+1过点Pn（xn，yn）得xn3-3axn2-xn+13+3axn+12=（3xn+12-6axn+1）（xn-xn+1），
由于xn≠xn+1，分解因式并约简，得：xn2+xnxn+1+xn+12-3a（xn+xn+1）=3xn+12-6axn+1
∴xn2+xnxn+1-2xn+12-3a（xn-xn+1）=0
（xn-xn+1）（xn+2xn+1）-3a（xn+xn+1）=0
∴xn+2xn+1=3a
（3）由（2）得：xn+1=-
xn+a，∴xn+1-a=-
（xn-a）故有数列{xn-a}是首项为x1-a=
，公比为-的等比数列∴xn-a=
，∴xn=[1-
]a∵a＞0，
∴当n为偶数时，xn＜a；当n为奇数时xn＞a
分析：（1）由y=x3-3ax2（a≠0）求导得直线的斜率，设出过曲线上的点P1（x1，y1）的切线L1的方程，再由切线L1过原点O求解；
（2）不妨设过曲线上的点Pn+1（xn+1，yn+1）处的切线Ln+1方程为y-（xn+13-3axn+12）=（3xn+12-6axn+1）（x-xn+1），由Ln+1过点Pn（xn，yn）代入方程，化简可得其关系；
（3）由（2）的结论有xn+1=-
xn+a，通过配方转化为xn+1-a=-（xn-a）有数列{xn-a}是首项为x1-a=，公比为-的等比数列求得xn=[1-]a再比较．点评：本题主要考查导数的几何意义通过点在线上，构造数列模型考查数列变形转化及通项间的关系．
练习册系列答案
相关题目