Question

一个酒杯的轴截面是抛物线 x²=2y （ 0≤y＜15 ） 的一部分，若在杯內放入一个半径为3的玻璃球，则球的最高点与杯底的距离是

 

．

Answer 1

分析：设圆心为A（0，a），圆与抛物线的一个切点为B（ x₀，

x02

2

），由AB和切线垂直得  

x02 2 -b

x0-0

•x₀=-1，
解出a 值，a+3为所求．

解答：解：玻璃球的轴截面是一个圆，设圆心为A（0，a），圆与抛物线的一个切点为B（ x₀，

x02

2

），切点处的切线
斜率就是函数 y=

1

2

x2 在切点处的导数 x₀，由AB和切线垂直得  

x02 2 -b

x0-0

•x₀=-1，
x₀²=2a-2．   又 AB=3，∴x₀²+(

x02

2

-a)2=9，∴a=5，
球的最高点与杯底的距离是半径加上a，即 3+5=8，
故答案为：8．

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，由AB和切线垂直得到它们的斜率之积等于-1是解题的关键．