Question

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

   函数，其图象在处的切线方程为．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得，且，

∴即解得，，

∴．       4分

（Ⅱ）由，可得，

，

则由题意可得有三个不相等的实根，

即的图象与轴有三个不同的交点，

，则的变化情况如下表．

				4
	＋	0	－	0	＋
	↗	极大值	↘	极小值	↗

则函数的极大值为，极小值为．    6分

的图象与的图象有三个不同交点，则有：

解得．  8分

（Ⅲ）存在点P满足条件．       9分

∵，∴，由，得，．当时，；当时，；当时，．可知极值点为，，线段AB中点在曲线上，且该曲线关于点成中心对称．证明如下：∵，∴

，∴．

上式表明，若点为曲线上任一点，其关于的对称点也在曲线上，曲线关于点对称．故存在点，使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．………………12分