Question

在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y²=1有两个不同的交点P和Q.

（1）求k的取值范围；

（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）k＜-或k＞（2）没有符合题意的常数k

解析:

（1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+,

代入椭圆方程得+(kx+)²=1.

整理得+2kx+1=0                                             ①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

Δ=8k²-4=4k²-2＞0,

解得k＜-或k＞.

即k的取值范围为(-∞,- )∪(,+∞).

（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则+=（x₁+x₂，y₁+y₂），

由方程①得x₁+x₂=-                                                   ②

又y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2                                                               ③

而A（，0），B（0，1），=（-，1）.

所以+与共线等价于x₁+x₂=-(y₁+y₂)，

将②③代入上式，解得k=.

由（1）知k＜-或k＞,故没有符合题意的常数k.