题目内容

一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图4所示，其中，，，．

（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

(1) 证明过程详见解析(2)

解析试题分析：
(1)要证明,只需要考虑证明AC垂直于BD所在的面,即面ABD,所以证明AC与AD,AB垂直即可,而AE与AD在同一条直线上且AE垂直于AC所在的一个面,根据线面垂直的性质,即可得到AC与AD垂直,而AC与AB垂直题目已给,所以能证明AC与面BCD垂直,进而证明AC与BD垂直.
(2)首先根据题目所给正视图与侧视图的面积,求出三角形AOE的面积,得到AO的长,再根据OA等腰直角三颗星ABC斜边的中线,即可求出等腰直角三颗星三条边的长度,进而得到三角形的面积,根据正视图的面积为三角形AOE与矩形的面积和得到AD的长,而所求三棱锥的体积可以分为三棱与两个部分,两部分都以三角形ABC为底面,分别以AE与AD为高,且都已知,进而可以求出三棱锥.
试题解析：
(1)证明:面(即面ABC)且面ABC
 
又且面ABD,
面ABD
面ABD

(2)因为正视图和侧视图的面积分别为11和12,所以,又因为AE=2,所以OA=1,,因为正视图的面积为11,所以,因为底面三角形ABC为等腰直角三角形且斜边的中线OA=1,所以,又因为面ABC且面ABC,所以
,综上.
考点：三视图 垂直 圆柱

练习册系列答案
相关题目

如图,三棱柱中,,,.

(1)证明:;
(2)若,,求三棱柱的体积.

如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABCA1B1C1的体积.

已知直三棱柱中，，是中点，是中点．

（1）求三棱柱的体积；
（2）求证：；
（3）求证：∥面．

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)记三棱锥P­ABD体积为V1，四棱锥P­BDEF体积为V2，且，求此时线段PO的长．

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中垂足O在线段DE内．

(1)求证：CO⊥平面ABED；
(2)问∠CEO(记为θ)多大时，三棱锥C－AOE的体积最大，最大值为多少．

下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．

（1）若为的中点，求证：面；
（2）证明面.
（3）求该几何体的体积．

在中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如下左图）．将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如下右图），已知D是AB的中点．

（1）求证：CD∥平面AEF;
（2）求证：平面AEF⊥平面ABF；
（3）求三棱锥C-AEF的体积，

如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一动点．

（1）求证：；
（1）确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．
（3）如果PA=AB=2，求三棱锥B-CDF的体积

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