Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：a_n=2S_n-1+1（n≥2），所以a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），又因为a₂=3a₁，故{a_n}是等比数列，进而得到答案．
（2）根据题意可得b₂=5，故可设b₁=5-d，b₃=5+d，所以结合题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，进而求出公差得到等差数列的前n项和为T_n．

解答：解：（1）因为a_n+1=2S_n+1，…①
所以a_n=2S_n-1+1（n≥2），…②
所以①②两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2）
又因为a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列
∴a_n=3^n-1．
（2）设{b_n}的公差为d，由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可设b₁=5-d，b₃=5+d，
又因为a₁=1，a₂=3，a₃=9，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
所以可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
解得d₁=2，d₂=-10
∵等差数列{b_n}的各项为正，
∴d＞0，
∴d=2，
∴Tn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n

点评：本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和．