Question

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：
①对任意x∈R，有f（x）＞0； ②对任意x、y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；  ③f(

1

3

)＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若f（2）=2，且x满足f(

1

2

)≤f(x)≤f(2)，求函数y=2f(2log2x)+

1

f(2log2x)

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令x=0，y=2，代入可得答案；
（2）设x1=

1

3

p1，x2=

1

3

p2，作差后由函数的性质可判单调性；
（3）由（2）及已知条件化简所给函数，由函数的单调性可得最值．

解答：解：（1）令x=0，y=2，得：f（0）=[f（0）]²，∵f（0）＞0，∴f（0）=1．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，设x1=

1

3

p1，x2=

1

3

p2，则p₁＜p₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

1

3

p1）-f（

1

3

p2）=[f(

1

3

)]p1-[f(

1

3

)]p2
∵f(

1

3

)＞1，p₁＜p₂，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是单调增函数；
（3）由（2）及f(

1

2

)≤f(x)≤f(2)知，

1

2

≤x≤2，
又f（2log₂x）=[f(2)]log2x=2log2x=x，
于是y=2x+

1

x

=2（x+

1 2

x

）在[

1

2

，

2

2

]上单调递减，在[

2

2

，2]上单调递增，
f（

1

2

）=3，f，2）=

9

2

，因此最大值为x=2时，y=

9

2

，最小值为x=

2

2

时，y=2

2

综上所述，y=2f(2log2x)+

1

f(2log2x)

的最大值为

9

2

，，最小值为2

2

点评：本题为抽象函数的综合应用，涉及函数的单调性和最值，属中档题．