Question

已知二次函数f（x）=x²+mx+1（m∈Z），且关于x的方程f（x）=2在(-3，

1

2

)上有两个不相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若x∈[2，t]总有f（x-5）≤2x成立，求t的最大值．

Answer 1

分析：（1）问题转化为f（x）-2=x²+mx-1=0在(-3，

1

2

)上有两个不相等的实数根，由此建立不等式，即可确定f（x）的解析式；
（2）先求f（x-5）≤2x成立时，x的范围，即可求t的最大值．

解答：解：（1）由f（x）=2在(-3，

1

2

)上有两个不相等的实数根，即g（x）=f（x）-2=x²+mx-1=0在(-3，

1

2

)上有两个不相等的实数根，
∴

g(-3)＞0 g( 1 2 )＞0 -3＜- m 2 ＜ 1 2

，
∴

3

2

＜m＜

8

3

  (m∈Z)，∴m=2
从而f（x）=x²+2x+1…（7分）
（2）由 f（x-5）≤2x，得x²-10x+16≤0，
∴2≤x≤8
而当x∈[2，t]总有f（x-5）≤2x成立，t_max=8…（14分）

点评：本题考查函数解析式的确定，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．