Question

棱P-ABCD的底面是正方形PD⊥ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当PD=

2

，AB=1，且E为PB的中点时，求①AE与平面PDB所成的角的大小；②求异面直线AE和CD所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：AC⊥BD，并且PD⊥AC，所以AC⊥平面PDB，进而由面面垂直的判定定理可得面面垂直．
（Ⅱ）①设AC∩BD=O，连接OE，所以∠AEO为AE与平面PDB所的角，根据题中的线面关系与线段的长度关系可得：在Rt△AOE中，∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
②因为AB∥CD，所以∠EAB为异面直线AE和CD所成角（或其补角），根据题中的线面关系与线段的长度关系可得：在△EAB中有∠EAB=60°，即异面直线AE和CD所成角为60°

解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
解：（Ⅱ）①设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点．
∴OE∥PD，OE=

1

2

PD，
又∵PD⊥平面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE=

1

2

PD=

2

2

AB=AO，
∴∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
②∵AB∥CD，
∴∠EAB为异面直线AE和CD所成角（或其补角）．
∵BA⊥AD，BA⊥PD，
∴BA⊥平面PAD，
∴BA⊥AP
∵在△EAB中AE=

1

2

BP=1，BE=

1

2

BP=1，AB=1
∴∠EAB=60°
即异面直线AE和CD所成角为60°

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角与两条异面直线的夹角问题，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．