题目内容
已知函数f（x）=x-alnx（a为常数）（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在
上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．
【答案】分析：（1）先求出函数的导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）由y=f（x）在x=1处取得极值，可知f'（1）=0，从而可得函数解析式，设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，确定函数的极值，利用关于x的方程f（x）+2x=x2+b在
上恰有两个不相等的实数根，建立不等式，即可求得实数b的取值范围．
解答：解：（1）求导函数，可得
（x＞0）
若a≤0，则f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增，∴函数的单调增区间为（0，+∞）；
若a＞0，则f′（x）＞0时，x＞a，f′（x）＜0时，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a
∴函数的单调增区间为（a，+∞）．单调减区间为（0，a）；
（2）∵y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=1-a=0，解得a=1
∴f（x）=x-lnx
∴f（x）+2x=x2+b，即x-lnx+2x=x2+b，亦即x2-3x+lnx+b=0
设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0）
则g'（x）=2x-3+
=
=
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表
当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b-2，g（
）=b-
-ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x2+b在[
，2]上恰有两个不相等的实数根
∴g（
）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0
∴b-
-ln2≥0，b-2＜0，b-2+ln2≥0
∴
+ln2≤b＜2
点评：本题主要考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
（2）由y=f（x）在x=1处取得极值，可知f'（1）=0，从而可得函数解析式，设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，确定函数的极值，利用关于x的方程f（x）+2x=x2+b在
上恰有两个不相等的实数根，建立不等式，即可求得实数b的取值范围．解答：解：（1）求导函数，可得
（x＞0）若a≤0，则f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增，∴函数的单调增区间为（0，+∞）；
若a＞0，则f′（x）＞0时，x＞a，f′（x）＜0时，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a
∴函数的单调增区间为（a，+∞）．单调减区间为（0，a）；
（2）∵y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=1-a=0，解得a=1
∴f（x）=x-lnx
∴f（x）+2x=x2+b，即x-lnx+2x=x2+b，亦即x2-3x+lnx+b=0
设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0）
则g'（x）=2x-3+
==当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表
| x | （0， ） |  | （ ，1） | 1 | （1，2） | 2 |
| g'（x） | + | - | + | |||
| G（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ | b-2+ln2 |
）=b--ln2，g（2）=b-2+ln2∵方程f（x）+2x=x2+b在[
，2]上恰有两个不相等的实数根∴g（
）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0∴b-
-ln2≥0，b-2＜0，b-2+ln2≥0∴
+ln2≤b＜2点评：本题主要考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|