Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，点O为坐标原点，直线l：x=

a2

c

与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，又

OA

=2

OB

，

OA

•

OC

=2，过点F的直线m与双曲线右支交于点M，N，点P为点M关于x轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）判断B，P，N三点是否共线，并说明理由；
（3）求三角形BMN面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据

OA

=2

OB

，

OA

•

OC

=2，可得

a=2× a2 c a× a2 c =2

，由此可求双曲线中的几何量，从而可求双曲线的方程；
（2）设直线m的方程代入

x2

4

-

y2

12

=1整理得一元二次方程，用坐标表示向量结合韦达定理，即可得到B，P，N三点共线；
（3）因为直线m与双曲线右支交于点M，N，可得t2＜

1

3

，表示出三角形的面积，再换元，利用配方法，结合函数的单调性，可求三角形BMN面积的最小值．

解答：解：（1）∵

OA

=2

OB

，

OA

•

OC

=2，
∴

a=2× a2 c a× a2 c =2

，∴a²=4，c=4
∴b²=c²-a²=12
∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）由（1）可知B（1，0），F（4，0），
由题意直线m的斜率不为0，所以设直线m的方程为x=ty+4，代入

x2

4

-

y2

12

=1整理得（3t²-1）y²+24ty+36=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则P（x₁，-y₁）．
由韦达定理知y1+y2=-

24t

3t2-1

，y1y2=

36

3t2-1

，
所以

BP

=(x1-1，-y1)，

BN

=(x2-1，y2)．
因为（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-y₁-y₂=2ty1y2+3(y1+y2)=2t

36

3t2-1

+3(-

24t

3t2-1

)=0
∴向量

BP

，

BN

共线，所以B，P，N三点共线．
（3）因为直线m与双曲线右支交于点M，N，所以x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）＞0，得t2＜

1

3

．
∴S△BMN=

1

2

|BF||y1-y2|=

1

2

×3×

(y1+y2)2-4y1y2

=

6 3 3+3t2

1-3t2

，
令u=1-3t²，则u∈（0，1]，S△BMN=

6 3 4-u

u

=6

3

4 u2 - 1 u

=6

3

4( 1 u - 1 8 )2- 1 16

，
又

1

u

∈[1，+∞)，所以

1

u

=1，即t=0时，三角形BMN面积的最小值18．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，同时考查韦达定理的运用，属于中档题．