Question

已知椭圆C₁：的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点以F为圆心，1为半径的圆作切线PM，PN，其中切点为M，N则四边形PMFN面积的最大值 为    ．

Answer 1

【答案】分析：连接PF，根据圆的切线的性质得S_△AFM=|PM|•|MF|=|PM|，从而四边形PMFN面积S=2S_△AFM=|PM|．根据勾股定理，得|PM|=，因此当|PF|最长时|PM|达到最大值．再根据椭圆的几何性质，得P与椭圆右顶点重合时，|PF|最长，由此可得|PM|最大值为2，即得四边形PMFN面积的最大值．
解答：解：连接PF，
∵PM与圆F相切，∴PM⊥MF，可得S_△AFM=|PM|•|MF|=|PM|
根据对称性可得四边形PMFN面积S=2S_△AFM=|PM|
Rt△PMF中，|PM|==
因此，当|PF|最长时，|PM|达到最大值，
同时四边形PMFN面积S达最大值．
由椭圆的几何性质，得
当P与椭圆右顶点（4，0）重合时，|PF|最长．
∵左焦点F坐标为（-1，0），
∴|PF|最大值为|4-（-1）|=5，可得|PM|最大值为=2
可得四边形PMFN面积S的最大值为2
故答案为：2
点评：本题给出椭圆内有一个内含于椭圆的小圆，求椭圆上一点P切圆的两条切线和过切点两条半径构成的四边形面积的最大值，着重考查了椭圆的几何性质、勾股定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．