Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

a

x

，（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数p（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，e]上的最小值为3，求a的值；
（3）若存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞x₀²+g（x₀）能成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a的值代入导数，利用导数判断函数的单调性求出单调区间
（2）先求导在分类讨论，代入h（x）的最小值求a
（3）在x₀∈[1，+∞）范围内，根据恒成立问题利用不等式求出a的取值范围

解答：解：（1）由题意：p（x）的定义域为（0，+∞），且p/(x)=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

当a=2时，∴在区间（0，2）上p′（x）＜0，在（2，+∞）上p′（x）＞0，故p（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（2）由题意可知：h/(x)=

x+a

x2

．
①若a≥-1，则x+a≥0，即h′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时h（x）在[1，e]上为增函数，[h（x）]_min=h（1）=-a=3，∴a=-3（舍去）．
②若a≤-e，则x+a≤0，即h′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时h（x）在[1，e]上为减函数，[h(x)]min=h(e)=1-

a

e

=3，∴a=-2e
③若-e＜a＜-1，令h′（x）=0得x=-a，
当1＜x＜-a时，h′（x）＜0，h（x）在（1，-a）上为减函数，
当-a＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（-a，e）上为增函数，[h（x）]_min=h（-a）=ln（-a）+1=3，∴a=-e²（舍去）综上可知：a=-2e．
（3）∵由f(x0)＞x02+g(x0)∴lnx0＞x02+

a

x0

．
又x₀＞1∴a＜x₀lnx₀-x₀³令M（x）=xlnx-x³，只需a＜M（x）_max再令N(x)=M/(x)=-1+lnx-3x2，，N/(x)=

1

x

-6x=

1-6x2

x

∵N′（x）在[1，+∞）上小于0，
∴N（x）在[1，+∞）上是减函数，N（x）≤N（1）=-2即M′（x）＜0，
故M（x）在[1，+∞）上也是减函数，M（x）≤M（1）=-1．∴a＜-1，
∴存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞x₀²+g（x₀）能成立，a的取值范围是a＜-1．

点评：该题考查函数的求导，以及利用导数求函数的单调性，该题易在做第二步时分类讨论时讨论不全．