Question

在锐角△ABC中，已知5•=4||•||，设=（sinA，sinB），=（cosB，-cosA）且•=，
求：（1）sin（A+B）的值；（2）tanA的值．

Answer 1

解：（1）∵5•=5||•||cosC=4||•||，∴cosC=，…（2分）
∴sin（A+B）=sinC=．
（2）设 x=tanA＞0，∵=sinAcosB-cosAsinB= ①，
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= ②，
由①+②可求得，sinAcosB=，…（4分）
∴cosAsinB=，故tanAcotB=2，故 tanB=．
由（Ⅰ）可得cos（A+B）=-，
故 tan（A+B）====-，
即 x²-4x-2=0，∴x=2+，∴tanA=2+．
分析：（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求出cosC，再由诱导公式求出 sin（A+B）的值．
（2）设 x=tanA＞0，由=sinAcosB-cosAsinB=，sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，可得tanB=，再由tan（A+B）==-，解方程求出x的值，即为所求．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，两角和的正切公式、正弦公式的应用，属于中档题