题目内容
选修4-1：几何证明选讲如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于点H及K．
（Ⅰ）求证：HC•CK=BC2；
（Ⅱ）若圆的半径等于2，求AH•AK的值．
分析：（Ⅰ）证明△DHC∽△KDC，可得
=
，根据DC=BC，可得结论；
（Ⅱ）连接AD，BD，则可得AD是⊙B的切线，由切割线定理可得AD2=AH•AK，从而可求AH•AK的值．
| DC |
| HC |
| CK |
| DC |
（Ⅱ）连接AD，BD，则可得AD是⊙B的切线，由切割线定理可得AD2=AH•AK，从而可求AH•AK的值．
解答：
（Ⅰ）证明：连接DH，DK，则DH⊥DK，
∴△DHC∽△KDC，∴
=
，
∴DC2=HC•CK，
又DC=BC，∴BC2=HC•CK…（5分）
（Ⅱ）解：连接AD，BD，则AD⊥BD，AD=BD，
∴AD是⊙B的切线，于是AD2=AH•AK，
∵圆的半径等于2
∴AH•AK=4…（10分）
（Ⅰ）证明：连接DH，DK，则DH⊥DK，∴△DHC∽△KDC，∴
| DC |
| HC |
| CK |
| DC |
∴DC2=HC•CK，
又DC=BC，∴BC2=HC•CK…（5分）
（Ⅱ）解：连接AD，BD，则AD⊥BD，AD=BD，
∴AD是⊙B的切线，于是AD2=AH•AK，
∵圆的半径等于2
∴AH•AK=4…（10分）
点评：本题考查几何证明选讲，考查三角形的相似，考查圆的切线性质，属于中档题．
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