Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

m

=（2b-

3

c，cosC），

n

=（

3

a，cosA），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求2cos²B+sin（A-2B）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

m

∥

n

和两向量的坐标可求得(2b-

3

c)•cosA-

3

acosC=0，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A
（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos²B+sin（A-2B）的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由

m

∥

n

得(2b-

3

c)•cosA-

3

acosC=0．
由正弦定理得2sinBcosA-

3

sinCcosA-

3

sinAcosC=0，2sinBcosA-

3

sin(A+C)=0．
∴2sinBcosA-

3

sinB=0．
∵A，B∈（0，π），
∴sinB≠0，cosA=

3

2

，
∴A=

π

6

．

（Ⅱ）解：∵A=

π

6

∴2cos²B+sin（A-2B）=1+cos2B+sin

π

6

cos2B-cos

π

6

sin2B
=

3

cos(2B+

π

6

)+1，
2cos2B+sin(A-2B)∈(1-

3

，1)．
2cos²B+sin（A-2B）的最小值为1-

3

.

点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．