Question

函数f（x）对，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）的值；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）在定义域上是单调函数且f（1）=2，解不等式f（x）≥f（1-2x）-4．

Answer 1

分析：（1）结合所给的抽象条件，对x、y进行取特值即可获得问题的解答；
（2）根据函数的奇偶性定义，只需要找到f（-x）与f（x）的关系即可解答问题，操作时可以令y=-x进行分析；
（3）首先应充分利用好前两问题的结论对4进行转化，再结合不等式f（x）≥f（1-2x）-4，找到抽象不等式：f（x+2）≥f（1-2x），结合单调性分析即可获得问题的解答．

解答：解：（1）令x=y=0，
则f（0+0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0．
（2）x∈[-3，3]关于原点对称，
令y=-x
∴f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴f（x）=-f（-x）
所以f（x）在x∈[-3，3]上是奇函数．
（3）∵f（1）=2
∴f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2+2=4
∵f（x）≥f（1-2x）-4，
∴f（x）+4≥f（1-2x）
即f（x）+f（2）=f（x+2）≥f（1-2x）
∵f（x）在定义域上是单调，并且f（0）=1，f（1）=2
∴f（x）在定义域上是单调递增的．
∴

-3≤x≤3 -3≤1-2x≤3 x+2≥1-2x

解的

-3≤x≤3 -1≤x≤2 x≥- 1 3

∴x∈[-

1

3

，2]．

点评：本题考查的是抽象函数问题．在解答的过程当中充分体现了，特值的思想、问题转化的思想以及函数奇偶性的判断和应用．值得同学们体会和反思．