Question

已知函数f（x）=

1

3

ax³+2x²，其中a＞0
（1）当a=3时，求过点（

4

7

，0）且与曲线y=f（x）（x＞0）相切的直线方程
（2）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值为-2，求的值．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义可知在x处的导数等于切线的斜率，建立等式关系，求出切点的横坐标，代入函数关系式，求出切点坐标，最后利用点斜式方程写出切线方程即可．
（2）先求导f′（x）=ax²+4x=x（ax+4），再对a进行分类讨论：当-1≤-

4

a

，当-

4

a

＜-1；分别求得f（x）在区间[-1，1]上的最小值，从而列出关于a的方程即可求得a=12．

解答：解：（1）a=3时f（x）=x³+2x²f′（x）=3x²+4x
设切点（m，m³+2m²）（m＞0），则在切点处的切线的斜率为k=3m²+4m
∴切线方程y-m³-2m²=（3m²+4m）（x-m）
∵过（

4

7

，0）
∴-m³-2m²=（3m²+4m）（

4

7

-m）即7m³+m²-8m=0
m=0（舍）或m=1或m=-

8

7

∴所求的切线方程7x-y-4=0
（2）f（x）=

1

3

ax³+2x²∴f′（x）=ax²+4x=x（ax+4）
因a＞0，f′（x）＞0，x＜-

4

a

或x＞0，f′（x）＜0，-

4

a

＜x＜0
y=f（x）在x＜-

4

a

或x＞0上单调增，在-

4

a

＜x＜0上单调减．
当-1≤-

4

a

即a≥4时y=f（x）在[-1，-

4

a

]，[0，1]上单调增，在[-

4

a

，0]上单调减，f（x）的最小值在x=-1或x=0时取到，
f（0）=0不符合题意，f（-1）=-

1

3

a+2，a=12
当-

4

a

＜-1即0＜a＜4时y=f（x）在[0，1]上单调增，在[-1，0]上单调减
∴y=f（x）的最小值在x=0取到    
而f（0）=0≠-2（舍）
∴a=12．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．