Question

（选修4-4坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的圆心C(3，

π

6

)，半径r=6．
（1）写出圆C的极坐标方程；
（2）若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQ：QP=3：2，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆C的极坐标方程．
（2）由OQ：QP=3：2，得OQ：OP=3：5．设出P的极坐标，求出Q的坐标，代入圆C的方程．即可得到动点P的轨迹方程．

解答：解：（1）将圆心C (3，

π

6

)，化成直角坐标为（

3 3

2

，

3

2

），半径R=6，（2分）
故圆C的方程为（x-

3 3

2

）²+（y-

3

2

）²=36．（4分）
再将C化成极坐标方程，得（ρcosθ-

3 3

2

）²+（ρsinθ-

3

2

）²=36．（6分）
化简，得 ρ2=6ρcos(θ-

π

6

)-27．
此即为所求的圆C的方程．（10分）
（2）由OQ：QP=3：2，得OQ：OP=3：5．设P（ρ，θ），则Q（

3

5

ρ，θ），因为Q在圆C上，
所以点P的极坐标方程为：(

3

5

ρ)2=6×

3

5

ρcos(θ-

π

6

)-27：
ρ2=10ρcos(θ-

π

6

)-75=10cos(θ-

π

6

)-75．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，即利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即可，注意相关点求出轨迹方程的方法．易错点为ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，的转化，以及相关点的化简代入．