题目内容
【题目】现有半径为R、圆心角(∠AOB)为90°的扇形材料,要裁剪出一个五边形工件OECDF,如图所示.其中E,F分别在OA,OB上,C,D在 上,且OE=OF,EC=FD,∠ECD=∠CDF=90°.记∠COD=2θ,五边形OECDF的面积为S.
(1)试求S关于θ的函数关系式;
(2)求S的最大值.
【答案】
(1)解:设M是CD中点,连OM,由OC=OD,可知OM⊥CD,
∠COM=∠DOM=, ,MD=Rsinθ,
又OE=OF,EC=FD,OC=OD,可得△CEO≌△DFO,
故∠EOC=∠DOF,可知 ,
又DF⊥CD,OM⊥CD,所以MO∥DF,故∠DFO= ,
在△DFO中,有 ,
可得
所以S=S△COD+SODF+SOCE=S△COD+2SODF=
=
(2)解:
= (其中 )
当 ,即 时,sin(2θ+φ)取最大值1.
又 ,所以S的最大值为 .
【解析】(1)设M是CD中点,连OM,推出∠COM=∠DOM= ,MD=Rsinθ,利用△CEO≌△DFO,转化求解∠DFO= ,在△DFO中,利用正弦定理 ,求解S=S△COD+SODF+SOCE=S△COD+2SODF的解析式即可.(2)利用S的解析式,通过三角函数的最值求解即可.
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