题目内容
已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切。
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ。
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ。
（1）解：依题意，圆心的轨迹是以F（0，2）为焦点，L：y=-2为准线的抛物线上，
因为抛物线焦点到准线距离等于4，
所以圆心的轨迹是
。
（2）证明：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2，
，
由
，可得
，
∴
，
，
抛物线的方程为
，求导得
，
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
，
∴
所以，AQ⊥BQ。
因为抛物线焦点到准线距离等于4，
所以圆心的轨迹是
。（2）证明：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2，
，由
，可得，∴
，，抛物线的方程为
，求导得，所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
，∴
所以，AQ⊥BQ。
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