Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中点，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=

PA

PB

，sin∠BPF=

BF

PB

，所以PA=BF．
由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．
所以四边形BCDG是平行四边形，
故GD=BC=3，于是AG=2．
在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，
所以BG=

AB2+AG2

=2

5

，BF=

AB2

BG

=

16

2 5

=

8 5

5

．
于是PA=BF=

8 5

5

．
又梯形ABCD的面积为S=

1

2

×（5+3）×4=16．
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=

1

3

×S×PA=

1

3

×16×

8 5

5

=

128 5

15

．
解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，
设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．
（Ⅰ）

CD

=（-4，2，0），

AE

=（2，4，0），

AP

=（0，0，h）．
因为

CD

•

AE

=-8+8+0=0，

CD

•

AP

=0．
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）由题设和第一问知，

CD

，

PA

分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，
所以：|cos＜

CD

，

PB

＞|=|cos＜

PA

，

PB

＞|，即|

CD • PB

| CD |•| PB |

|=|

PA • PB

| PA |•| PB |

|．
由第一问知

CD

=（-4，2，0），

PA

=（（0，0，-h），又

PB

=（4，0，-h）．
故|

-16+0+0

2 5 • 16+h2

|=|

0+0+h2

h• 16+h2

|．
解得h=

8 5

5

．
又梯形ABCD的面积为S=

1

2

×（5+3）×4=16．
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=

1

3

×S×PA=

1

3

×16×

8 5

5

=

128 5

15

．