Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0．b＞0)与椭圆

x2

18

+

y2

14

=1有共同的焦点，点A(3，

7

)在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C的焦点坐标，利用点A(3，

7

)在双曲线C上，根据双曲线定义||AF₁|-|AF₂||=2a，即可求出所求双曲线C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入A、B在双曲线方程得

x 2 1 - y 2 1 =2 x 2 2 - y 2 2 =2

，两方程相减，借助于P（1，2）为中点，可求弦AB所在直线的斜率，进而可求其方程．

解答：解：（1）由已知双曲线C的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0）
由双曲线定义||AF₁|-|AF₂||=2a，
∴

25+7

-

1+7

=2a
∴a=

2

，c2=4，
∴b²=2
∴所求双曲线为

x2

2

-

y2

2

=1…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为A、B在双曲线上
∴

x 2 1 - y 2 1 =2 x 2 2 - y 2 2 =2

，两方程相减得：得（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
∴

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

y1+y 2

=

2

4

=

1

2

，
∴kAB=

1

2

∴弦AB的方程为y-2=

1

2

(x-1)即x-2y+3=0
经检验x-2y+3=0为所求直线方程．…（12分）

点评：本题以椭圆为载体，考查双曲线的标准方程，考查弦中点问题，考查点差法的运用，综合性强．