Question

已知函数f（x）=xlnx
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）若g(x)=

1

2

mx2（m为实数），若f（x）≥g（x）对x∈[

e

2

，

3e

2

]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后利用导数求函数的单调区间．
（2）求导，利用导数求函数的最值．

解答：解：（1）函数定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0得x=

1

e

，
当f'（x）＜0时，x∈(0，

1

e

)，此时f（x）单调递减；
当f′（x）＞0时，x∈(

1

e

，+∞)，此时f（x）单调递增．…（4分）
（2）要求xInx≥

1

2

mx2，即m≤

2Inx

x

对x∈[

e

2

，

3e

2

]恒成立，
令h(x)=

2Inx

x

，则h/(x)=

2-2Inx

x2

=0时，得x=e，
当x∈[

e

2

，e]时，h′（x）≥0，当x∈[e，

3e

2

]时，h′（x）≤0

故h(x)min∈{h(

e

2

)，h(

3e

2

)}，…（9分）
而易证

h( e 2 )

h( 3e 2 )

＜1…（13分）
又m≤h（x）_min，即m≤h(

e

2

)=

4

e

In

e

2

…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，对应含参数恒成立问题，通常是将参数分离，转化为最值恒成立问题．