Question

已知数列{a_n}是首项a₁＝4，公比q≠1的等比数列，S_n是其前n项和，且4a₁，a₅，－2成等差数列．
(1)求公比q的值；   
(2)求T_n＝a₂＋a₄＋a₆＋…＋a_2n的值．

Answer 1

(1)q＝－1.(2) T_n＝na₂＝－4n.

本试题主要是考查了等比数列的通项公式的求解，以及等比数列的求和的综合运用。
（1）由题意得2a₅＝4a₁－2a₃.
∵{a_n}是等比数列且a₁＝4，公比q≠1，
∴2a₁q⁴＝4a₁－2a₁q²，∴q⁴＋q²－2＝0解得q的值。
（2）因为a₂，a₄，a₆，…，a_2n是首项为a₂＝4×(－1)＝－4，公比为q²＝1的等比数列，那么利用等比数列的前n项和公式得到结论。
解　(1)由题意得2a₅＝4a₁－2a₃.
∵{a_n}是等比数列且a₁＝4，公比q≠1，
∴2a₁q⁴＝4a₁－2a₁q²，∴q⁴＋q²－2＝0，
解得q²＝－2(舍去)或q²＝1，∴q＝－1.
(2)∵a₂，a₄，a₆，…，a_2n是首项为a₂＝4×(－1)＝－4，公比为q²＝1的等比数列，∴T_n＝na₂＝－4n.