Question

直角三角形的两条直角边长分别为a，b（a＞b＞0），若分别以这两条边及斜边为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积分别为V_a，V_b，V，试比较V_a，V_b，V的大小．

Answer 1

分析：直角三角形的两条直角边长分别为a，b，分别以这两条边及斜边为旋转轴旋转一周，所得几何体分别为圆锥、圆锥和两个圆锥的组合体，分别找到各个圆锥的底面半径和高，求出它们的体积V_a，V_b，V，再由a＞b＞0，能比较V_a，V_b，V的大小．

解答：解：∵直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
分别以这两条边及斜边为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积分别为V_a，V_b，V，
∴V_a=

1

3

×πb2×a=

ab2

3

π，
V_b=

1

3

×πa2×b=

a2b

3

π，
∵直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
∴直角三角形的斜边长为

a2+b2

，斜边上的高为

ab

a2+b2

，
∴V=

1

3

×π(

ab

a2+b2

)2×

a2+b2

=

a2b2 a2+b2

3(a2+b2)

π，
∵a＞b＞0，
∴V＜V_a＜V_b．

点评：本题考查旋转体的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．