Question

（2006•朝阳区三模）已知：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=2a，D、E分别是侧棱BB₁和AC₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线AD与A₁C₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角D-AC-B的大小；
（Ⅲ）求证：ED⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，∠CAD是异面直线AD与A₁C₁所成的角．在△ACD中求解
（Ⅱ）设AC中点为G，连结GB，GD，
证出∠DGB是所求二面角的平面角，依条件可求出GB=

3

2

a．在△DGB中求解．
（Ⅲ）通过证明DE⊥AC₁，ED⊥AC证明ED⊥平面ACC₁A₁．

解答：解：（Ⅰ）∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，
∴∠CAD是异面直线AD与A₁C₁所成的角．…（2分）
连结CD，易知AD=CD=

2

a，AC=a，在△ACD中易求出cos∠CAD=

2

4

．
因此异面直线AD与A₁C₁所成的角的余弦值为=

2

4

．
．…（4分）
（Ⅱ）设AC中点为G，连结GB，GD，
∵△ABC是等边三角形，∴GB⊥AC．
又DB⊥面ABC，∴GD⊥AC．
∴∠DGB是所求二面角的平面角．…（6分）
依条件可求出GB=

3

2

a．
∴tan∠DGB=

DB

GB

=

2 3

3

．
∴∠DGB=arctan

2 3

3

．
．…（8分）
（Ⅲ）证明：
∵D是B₁B的中点，∴△C₁B₁D≌△ABD．∴AD=C₁D．于是△ADC₁是等腰三角形．
∵E是AC₁的中点，∴DE⊥AC₁．…（10分）
∵G是AC的中点，∴EG∥C₁C∥DB，EG=

1

2

，C₁C=DB．
∴四边形EGBD是平行四边形．∴ED∥GB．
∵G是AC的中点，且AB=BC，∴GB⊥AC．∴ED⊥AC．
∵AC∩AC₁=A，
∴ED⊥平面ACC₁A₁．…（13分）
（或证ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁．）

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．