题目内容

设函数f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R．ab≠0，若f（x）≤|f（ $数学公式$ ）|对一切x∈R恒成立，则
①f（ $数学公式$ ）=0；　②|f（ $数学公式$ ）|＜|f（ $数学公式$ ）|；
③函数y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④函数y=f（x）的单调递增区间是：[kπ+ $数学公式$ ，kπ+ $数学公式$ ]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．
以上结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）．

①③⑤
分析：由辅助角公式，化简得f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+θ），结合已知不等式得f（ $\text{[math]}$ ）是函数的最大或最小值，从而得到
f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ +kπ）=± $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．再根据三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，对各选项逐个加以判断，可得①③⑤通过证明可得其正确性，而②④存在反例说明它们不正确．
解答：f（x）=asin2x+bcos2x= $\text{[math]}$ sin（2x+θ），其中角θ满足cosθ= $\text{[math]}$ ，sinθ= $\text{[math]}$
∵f（x）≤|f（ $\text{[math]}$ ）|对一切x∈R恒成立，
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$ ，得2× $\text{[math]}$ +θ= $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z
因此θ= $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z．f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ +kπ）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）或- $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
对于①，因为sin（2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=sin2π=0，所以f（ $\text{[math]}$ ）=± $\text{[math]}$ sin（2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=0，故①正确；
对于②，|f（ $\text{[math]}$ ）|=| $\text{[math]}$ sin（2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）|= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∵|f（ $\text{[math]}$ ）|=| $\text{[math]}$ sin（2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）|= $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴|f（ $\text{[math]}$ ）|＞|f（ $\text{[math]}$ ）|，故②不正确；
对于③，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；
对于④，因为函数的表达式f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）或- $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
表达式不确定，故[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）不一定是增区间，故④不正确；
对于⑤，采用反证法
设经过点（a，b）的一条直线与函数y=f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行
方程为y=b，且|b|＞ $\text{[math]}$ ，平方得b²＞a²+b²矛盾，故假设不成立
∴经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．故⑤正确．
故答案为：①③⑤
点评：本题给出符合已知条件的三角函数表达式，叫我们判断几个选项的正确性，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质、两角和与差的三角函数和反证法等知识，属于中档题．