Question

13．已知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2），F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆的左、右顶点，点P为椭圆上异于A、B的动点，且直线PA、PB的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线l与椭圆有且仅有一个公共点，求证：点F₁、F₂到直线l的距离乘积为定值．

Answer 1

分析 （1）通过设P（x，y），利用直线PA、PB的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，即$\frac{y-0}{x+a}$•$\frac{y-0}{x-a}$=-$\frac{1}{2}$，化简与椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1比较即得结论；
（2）通过设F₁、F₂到直线l的距离分别为d₁、d₂，当斜率存在时设直线l方程：y=kx+b，并与椭圆方程联立，利用△=0可得8k²-b²+4=0，结合点到直线的距离公式计算即可；当斜率不存在时直线l的方程为：x=$2\sqrt{2}$或x=-$2\sqrt{2}$，计算即得结论．

解答 （1）解：∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2），
∴A（-a，0），B（a，0），
设P（x，y），则$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∵直线PA、PB的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{y-0}{x+a}$•$\frac{y-0}{x-a}$=-$\frac{1}{2}$，
化简得：x²+2y²-a²=0，即$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{2}}$=1，
∴a²=8，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）证明：设F₁、F₂到直线l的距离分别为d₁、d₂，对动直线l的斜率进行讨论：
①当斜率存在时，设直线l方程为：y=kx+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0，
∵直线l与椭圆相切，
∴△=（4kb）²-4（1+2k²）（2b²-8）=0，
化简得：8k²-b²+4=0，
∵椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴F₁（-2，0），F₂（2，0），
则d₁•d₂=$\frac{|-2k+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{|2k+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|{b}^{2}-4{k}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{|8{k}^{2}+4-4{k}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=4；
②当斜率不存在时，直线l的方程为：x=$2\sqrt{2}$或x=-$2\sqrt{2}$，
此时d₁•d₂=|2+$2\sqrt{2}$||2-$2\sqrt{2}$|=4；
综上所述：点F₁、F₂到直线l的距离乘积为定值4．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．