题目内容

设不等式组 $数学公式$ 确定的平面区域为U， $数学公式$ 确定的平面区域为V．
（I）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（II）在区域U内任取3个点，记此3个点在区域V的个数为X，求X的概率分布列及其数学期望．

解：（Ⅰ）由题意，区域U内共有15个整点，区域V内共有9个整点，
设所取3个整点中恰有2个整点在区域V的概率为P（v），
则P（v）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）区域U的面积为8，区域V的面积为4，
∴在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
则X的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=C₃⁰（ $\text{[math]}$ ）⁰（ $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$ ，
P（X=1）=C₃¹（ $\text{[math]}$ ）¹（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
P（X=0）=C₃²（ $\text{[math]}$ ）²（ $\text{[math]}$ ）¹= $\text{[math]}$ ，
P（X=3）=C₃³（ $\text{[math]}$ ）³（ $\text{[math]}$ ）⁰= $\text{[math]}$ ，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P（X）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

E（X）=0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）根据题意，画出区域U与V，可得其中整点的个数，进而由古典概型公式，计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，易得区域U的面积为8，区域V的面积为4，进而可得在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率，依题意可得X的取值为0，1，2，3；由n次独立重复试验中恰有k次发生的概率公式，可得X为0，1，2，3的概率，可得X的分布列，进而由期望公式，计算可得答案．
点评：本题考查排列组合的运用、离散型变量的期望与方差的计算，解题时注意（Ⅰ）涉及整点，是古典概型；（Ⅱ）利用面积，是几何概型．