题目内容

设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0），O为坐标原点，
（1）椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）过M（2，
2
），N（
6
，1）两点，求椭圆E的方程；
（2）若a＞b＞0，两个焦点为 F1（-c，0），F2（c，0），M为椭圆上一动点，且满足
F1M
•
F2M
=0，求椭圆离心率的范围．
（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
OA
⊥
OB
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由．
分析：（1）设椭圆E的方程为：mx2+ny2=1，将M（2，
2
），N（
6
，1）两点坐标代入，可得椭圆E的方程；
（2）设M（x，y），求出向量
F1M
与
F2M
，结合
F1M
•
F2M
=0及椭圆的性质，可得离心率的范围．
（3）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，知（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，再由根的判别式和韦达定理能求出|AB|取值范围．
解答：解：（1）设椭圆E的方程为：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），
由由椭圆过点M、N得
4m+2n=1
6m+n=1
，解得
m=
1
8
n=
1
4
，
所以椭圆E的方程为：
x2
8
+
y2
4
=1；
（2）设M（x，y），
F1M
=（x+c，y），
F2M
=（x-c，y），
由
F1M
•
F2M
=0，得（x+c，y）•（x-c，y）=x2-c2+y2=0①，
又M在椭圆上，所以
x2
a2
+
y2
b2
=1，得y2=b2(1-
x2
a2
)，
代入①式得x2-c2+b2(1-
x2
a2
)=0，化简得
c2
a2
x2=c2-b2，
则有c2-b2≥0，即c≥b，
两边平方得c2≥b2，即c2≥a2-c2，
所以
c2
a2
≥
1
2
，解得
c
a
≥
2
2
，即e≥
2
2
．
所以椭圆离心率的范围为：[
2
2
，1）．
（3）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
OA
⊥
OB
，
设该圆的切线方程为y=kx+m，A（ x1，y1），B（ x2，y2）．
由
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
则△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0（*）
则x1+x2=
-4km
1+2k2
，x1x2=
2m2-8
1+2k2

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•
2m2-8
1+2k2
+km
-4km
1+2k2
+m2=
m2-8k2
1+2k2

要使
OA
⊥
OB
，需使x1x2+y1y2=
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0，
所以3m2-8k2-8=0，所以k2=
3m2-8
8
≥0
结合（*）可得
m2＞2
3m2≥8
，解得m≥
2
6
3
或m≤-
2
6
3
，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r=
|m|
1+k2
=
2
6
3
，
所求的圆为x2+y2=
8
3
，
而当切线的斜率不存在时切线为x=±
2
6
3
与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1的两个交点为（
2
6
3
，±
2
6
3
）或（-
2
6
3
，±
2
6
3
）
满足
OA
⊥
OB
，（其实与y轴垂直时的切线方程结果是一样的，因为此时圆与椭圆相切）
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=
8
3
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
OA
⊥
OB
．
∵|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
32(4k4+5k2+1)
3(4k4+4k2+1)
=
32
3
(1+
k2
4k4+4k2+1
)
，
①当k≠0时，|AB|=
32
3
(1+
1
4k2+
1
k2
+4
)

因为4k2+
1
k2
+4≥8，所以
4
6
3
＜|AB|≤2
3
（当且仅当k=±
2
2
时取”=”）．
当k=0时，|AB|=
4
6
3
．
综上，|AB|的取值范围为[
4
6
3
，2
3
]
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
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设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a，b＞0)M(2.
2
)，N(
6
，1)，O为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且
OA
⊥
OE
？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．
（2012•安徽模拟）设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过M（2，
2
），N（
6
，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
OA 
⊥
OB 
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆E上一点，AF1⊥F1F2，原点到直线AF2的距离是
1
3
|OF1|．△AF1F2 的面积是等于椭圆E的离心率e，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ），若直线l：y=x+m与椭圆E交于B、C两点，问：是否存在实数m使∠BF2C为钝角？如果存在，求出m的范围；如果不存在，说明理由．
设椭圆E：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，已知A（a，0），B（0，-b），且原点O到直线AB的距离为
2
3
3

（Ⅰ）  求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知过点M（1，0）的直线交椭圆E于C，D两点，若存在动点N，使得直线NC，NM，ND的斜率依次成等差数列，试确定点N的轨迹方程．
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，且过点M（2，
2
），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在以圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且
OA
⊥
OB
？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．

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