Question

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）=4；
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若关于x的不等式f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）的解集中最大的整数为2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可利用赋值求解f（1），f（4）
（2）利用函数单调性的定义：设a＞0，则x+a＞x，结合由已知可得，f（x+a）-f（x）=f（x）+f（a）-f（x）-1=f（a）-1＞0从而可证
（3）结合（1）f（4）=5，及（2）中函数的单调性及f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）可得
当x＞0可得，x²+（a²-5）x+a＜0的解集中的最大整数为2，令g（x）=x²+（a²-5）x+a，则

g(3)≥0 g(2)≤0

解不等式可求
当x＜0时，此时不符合题意

解答：解：（1）由题意可得f（3）=f（2）+f（1）-1=4，f（2）=2f（1）-1
∴3f（1）-2=4，即f（1）=2，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=2f（2）-1=5
（2）由（1）可得函数为单调递增的函数
证明如下：设a＞0，则x+a＞x
∵由题意可得，当x＞0时，f（x）＞1
∴f（a）＞1
由已知可得，f（x+a）-f（x）=f（x）+f（a）-f（x）-1=f（a）-1＞0
∴f（x+a）＞f（x）
由函数的单调性的定义可知函数单调递增
（3）∵f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）
由（2）中函数单调递增且f（4）=5可得|x|x+a²x+a＜5x
当x＞0可得，x²+（a²-5）x+a＜0的解集中的最大整数为2
令g（x）=x²+（a²-5）x+a，则

g(3)≥0 g(2)≤0

即

3a2+a-6≥0 2a2+a-6≤0

解可得

-1+ 73

6

≤a≤1
当x＜0时，x²+（5-a²）x-a＞0的解集中的最大整数为2，此时不符合题意

点评：本题主要考查了抽象函数中利用赋值求解函数值及利用函数的单调性的定义判断函数的单调性，解不等式，属于函数知识的综合应用．