Question

选修4-1：几何证明选讲
如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求证：

AB

AC

=

PA

PC

；
（Ⅱ）求AD•AE的值．

Answer 1

（ I）∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴

AB

AC

=

PA

PC

．…（3分）
（ II）∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC=6

5

，AB=3

5

…（7分）
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴

AB

AE

=

AD

AC

…（9分）
∴AD•AE=AB•AC=3

5

×6

5

=90．…（10分）