Question

已知f(x)=sin(2x+

π

4

)，x∈[0，π]，当方程f（x）=a有两个不相等的实数根x₁、x₂时，求（1）a的取值范围；（2）求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，π]，可得-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，f（x）=a有两个不相等的实数根x₁、x₂时，有-1＜a＜1 且 a≠

2

2

，即为a的取值范围．
（2）当a∈（

2

2

，1）时，x₁、x₂ 关于直线x=

π

2

对称，x₁+x₂ =π；当a∈（-1，

2

2

）时，x₁、x₂ 关于直线x=

3π

2

 对称，x₁+x₂ =3π．

解答：解：（1）∵x∈[0，π]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤2π+

π

4

，∴-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，
当方程f（x）=a有两个不相等的实数根x₁、x₂时，-1＜a＜1且a≠

2

2

，
故a的取值范围为（-1，

2

2

）∪（

2

2

，1）．
（2）当a∈（

2

2

，1）时，x₁、x₂ 关于直线x=

π

2

对称，x₁+x₂ =π．
当a∈（-1，

2

2

）时，x₁、x₂ 关于直线x=

3π

2

 对称，x₁+x₂ =3π，
综上，x₁+x₂ =π，或x₁+x₂ =3π．

点评：本题考查函数与方程的综合运用，正弦函数的值域，正弦函数的对称性，得到a的取值范围，是解题的难点．