题目内容

已知椭圆的左右两焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,且在x轴上方,PF2⊥F1F2,OH⊥PF1于H,OH=λOF1,λ∈[]。
(1)求椭圆的离心率e的取值范围;
(2)当e取最大值时,过F1,F2,P的圆Q的截y轴的线段长为6,求圆Q的方程;
(3)在(2)的条件下,过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线,切点分别为M,N,试探究直线MN是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由。

解:由相似三角形知,

(1)
,在上单调递减,
时,最小时,最小
,∴
(2)当时,,∴,∴

是圆的直径,圆心是的中点,
∴在y轴上截得的弦长就是直径,∴=6,


,圆心Q(0,1),半径为3,
(3)椭圆方程是,右准线方程为
∵直线AM,AN是圆Q的两条切线,
∴切点M,N在以AQ为直径的圆上。
设A点坐标为
∴该圆方程为
∴直线MN是两圆的公共弦,两圆方程相减,得
这就是直线MN的方程,
该直线化为:
,∴直线MN必过定点

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